TUGAS 12, MATEMATIKA DAN ILMU ILMIAH DASAR

Negasi, Implikasi, dan Tautologi

A. Negasi

Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan baru dengan membubuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula. Pernyataaan baru yang diperoleh dengan cara seperti itu disebut ingkaran atau negasi.

       Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari pdapat ditulis dengan memakai lambang, yaitu:

~p

                                                                                                            

                                          Dibaca: tidak benar p atau bukan p.

       Nilai kebenaran dari ingkaran sebuah pernyataan dapat di tentukan melalui pengamatan pada contoh berikut ini.

Contoh soal dan pembahasan:

1.   q: 7 adalah bilangan prima

jawab:

Ingkaran dari q: 7 adalah bilangan prima

~q:  tidak benar 7 adalah bilangan prima, atau

~q: 7 bukan bilangan prima

2. Tentukan negasinya.

P ; 2 + 3 = 5

Q: 5 adalah bilangan prima

p ˄q :

2 + 3 = 5 dan 5 adalah bilangan prima

~(p ˄ q) ≡ ~p  v ~q

“2 + 3 ≠ 5 atau 5 bukan bilangan prima “(S)

3. Tentukan negasinya.

P ; hari ini hujan

Q ; hari ini angin bertiup kencang

p ˅ q :

Hari ini hujan atau angin bertiup kencang

~(p v  q) ≡ ~p  ˄ ~q

Jadi, hari ini tidak hujan dan angin tidk bertiup kencang.

B. Implikasi

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut yang disusun dari
p: Hari ini matahari bersinar terang (B)
q: Hari ini angin bertiup kencang (S).

1. Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin bertiup kencang.
2. Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang
3. Jika hari ini mata hari tidak bersinar terang maka angin bertiup kencang
4. Jika hari ini matahari tidak bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang.

Jawab:

1. Pernyataan bernilai salah (S).
2. Pernyataan bernilai benar (B) .
3. Pernyataan bernilai benar (B)
4. Pernyataan bernilai benar (B).

C. Tautologi

     Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah

B  Tini pergi kuliah

C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B                              (Premis)

(2)   C → B                               (premis)

   (3) (A V C) → B                  (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B        

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2][2].

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.      (p ʌ  ~q)  p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.      [(p  q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

p	q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

(1)                       (2)                   (3)                      (4)                                (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk           [(p  q) ʌ p] p  q selalu benar

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

a.     (p ʌ q)  q

Penyelesaian:

(p ʌ q)  q  ~(p ʌ q) v q

                 ~p v ~q v q

                 ~p v T

                 T .............(Tautologi)[3][3]

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P	q	(p ʌ q)	(p ʌ q)  q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

b.     q  (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

                          ~q v (q v p)

                          T v p

                          T ............(Tautologi)